ECCH2：數值誤差與程式除錯

0. 導讀：本頁學習內容與學習目的

在計算機系統中，數值需要以有限的位元儲存與運算，因此不同資料型別各自擁有固定的可表示範圍與精度。當程式進行運算、資料型別轉換或反覆計算時，便可能出現上溢／下溢、截尾或捨入造成的誤差。另一方面，即使數值表示無誤，程式仍可能因語法、運行時或邏輯問題而輸出錯誤結果。

本頁把「數值誤差」與「程式除錯」放在同一框架內，目標是建立一套由結果檢查到問題定位的思路：先理解數值限制，再配合追蹤表、追蹤變量值與斷點等工具，逐步找出錯誤來源並完成修正。

學習目標

計算 n 位元有符號／無符號整數的可表示範圍，並判斷給定運算是否會出現上溢錯誤或下溢錯誤。
解釋截尾誤差與捨入誤差的來源，並在比較浮點值時使用容許誤差（tolerance）。
分辨語法錯誤、運行時錯誤與邏輯錯誤，能按錯誤訊息與行號進行初步定位。
使用追蹤表、追蹤變量值（例如輸出變量或在除錯器監察）及斷點配合單步執行，逐步縮小問題範圍。

為何需要學習本課題

在處理金額、感測器數據、統計資料等情境，即使是微小誤差亦可能影響判斷與結果，必須理解其成因與避免方法。
溢出與回捲在部分系統中不一定會即時報錯，容易產生「看似合理但實際錯誤」的輸出；掌握邊界概念有助設計更穩健的程式。
除錯能力是把「能寫出程式」提升為「能確認程式正確」的關鍵技能；透過工具觀察執行流程與變量狀態，可大幅提高修正效率。

1. 超出數字或變量可代表的範圍

重點

電腦以有限的位元儲存整數，因此每種資料型別都有固定的可表示範圍。
超出最大值會出現上溢錯誤；低於最小值會出現下溢錯誤（有些情況會「回捲」成另一個數）。
有符號整數（常用二補碼表示）與無符號整數的範圍不同，邊界值亦不同。
避免方法：選用足夠大範圍的資料型別、在運算前做範圍檢查、以測試資料覆蓋臨界值。

電腦中的整數並不是「無限大」，而是以固定數量的位元儲存。當程式設計者選用某種資料型別，實際上就是選定了可表示的最大值與最小值。若運算可能超出範圍，就必須在設計階段預先處理，否則結果可能回捲，造成難以察覺的錯誤。

在課堂與考試中，最常見的做法是：先判斷使用多少位元、屬有符號還是無符號，然後計算可表示範圍，再分析某次運算是否會上溢錯誤或下溢錯誤。實務上則常配合「範圍檢查」與「邊界測試」：讓測試資料刻意碰到最大值、最小值、以及臨界點，確保程式在極端情況仍正確。

示例說明：以取餘數（mod）模擬 8 位元整數回捲

下列偽代碼／Python 的重點在於「模擬固定 8 位元儲存」：不少系統會把整數存放在固定大小的欄位（例如 8 位元、16 位元、32 位元）。當數值寫入該欄位時，只有最低位的 n 個位元會被保留，其效果等同於對 2ⁿ 取餘數。

先求 u8：u8 = n mod 256，代表「只保留最後 8 個位元」，因此 u8 一定落在 0 至 255。
再解讀 s8：若 u8 ≥ 128，表示最高位（符號位）為 1，按二補碼規則應解讀為負數，故 s8 = u8 - 256；否則 s8 = u8。
觀察回捲：例如 127 + 1 = 128。對 8 位元有符號整數而言，128 會被解讀為 −128，這就是「上溢後回到最小值」的概念示例。

輸入 n	u8 = n mod 256	s8（以 8 位元有符號解讀）
127	127	127
128	128	−128
200	200	−56
300	44	44
255	255	−1

注意：Python 的整數通常可自動擴展位數，因此不會因位數不足而溢出。本示例屬於「概念模擬」，用來展示固定 bit 儲存時可能出現的回捲行為。

示例：用 mod 模擬 8 位元有符號／無符號

輸入 整數 n

# 先得到 8 位元無符號結果（0..255）
u8 ← n mod 256

# 再把它解讀為 8 位元有符號結果（-128..127）
如果 u8 ≥ 128：
    s8 ← u8 − 256
否則：
    s8 ← u8

輸出 "u8 =" , u8
輸出 "s8 =" , s8

# 示範：有符號 8 位元的 127 + 1 會回捲
x ← 127 + 1
u8x ← x mod 256
如果 u8x ≥ 128：
    s8x ← u8x − 256
否則：
    s8x ← u8x
輸出 "127 + 1 =" , s8x

Python 程式（可修改後按「執行」觀察）

n = int(input("請輸入整數 n："))

# 8 位元無符號：0..255
u8 = n % 256

# 8 位元有符號：-128..127（以二補碼解讀）
if u8 >= 128:
    s8 = u8 - 256
else:
    s8 = u8

print("u8 =", u8)
print("s8 =", s8)

# 示例：有符號 8 位元的 127 + 1
x = 127 + 1
u8x = x % 256
if u8x >= 128:
    s8x = u8x - 256
else:
    s8x = u8x
print("示例：有符號 8 位元的 127 + 1 =", s8x)

Check Point 1：超出可表示範圍（四選一．至少 20 題）

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2. 數字誤差：截尾誤差

重點

截尾誤差常見於「直接截去」位數（例如只保留兩位小數）或過早把小數轉為整數。
浮點數以有限位元儲存，小數未必能完全精確表示，運算後可能出現微小偏差。
重複運算會令微小誤差逐步放大，形成誤差累積。
比較浮點結果時，宜使用容許誤差（tolerance），避免直接用 ==。

截尾誤差不一定代表「程式寫錯」。很多時候，它源自資料表示法與精度限制，或是你刻意降低精度（例如只保留兩位小數）。這類操作會令資訊流失，因此結果與真值產生差距。

當運算涉及大量步驟（例如累加、迴圈、模擬），即使每一步的誤差很小，也可能逐步累積，最後的偏差變得明顯。良好的處理方法包括：盡量在最後一步才截尾／捨入、使用足夠精度、以及在比較時使用容許誤差。

溫馨提示：在需要精確處理金額的情況，常見做法是把金額轉換成「最小單位的整數」（例如以「仙」為單位），以避免浮點數誤差。

示例：容許誤差比較

a ← 0.1
b ← 0.2
c ← 0.3

輸出 a + b
輸出 (a + b 是否等於 c)

eps ← 1×10^(-9)
如果 |(a + b) − c| < eps：
    輸出「足夠接近，可視為相等」
否則：
    輸出「差距太大」

Python 程式（可修改後按「執行」觀察）

a = 0.1
b = 0.2
c = 0.3

print("a+b =", a + b)
print("直接比較 (a+b == c)：", a + b == c)

eps = 1e-9
print("容許誤差 eps =", eps)
print("容許誤差比較：", abs((a + b) - c) < eps)

Check Point 2：截尾誤差（四選一．至少 20 題）

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3. 捨入：上捨、下捨、四捨五入與捨入誤差

重點

上捨（向上取整）、下捨（向下取整）與四捨五入是常見捨入規則。
捨入會引入捨入誤差；若在中途反覆捨入，中間誤差會更容易累積。
一般建議：先用較高精度完成計算，只在最後輸出前捨入。
對負數而言，不同取整規則（例如截尾、下捨）結果可能不同，必須先講清楚採用哪一種規則。

捨入與截尾的共同點是「降低精度」；不同之處在於規則不同。若在運算過程中多次捨入，誤差會更快累積，因此實務上常先以較高精度完成計算，最後才按題目要求捨入輸出。

另一方面，題目若涉及負數或臨界值（例如剛好 0.5），必須先確認採用的捨入規則與取整方向。只要規則一致，答案就可檢查、可重現，也更易寫成程式。

示例：不同取整方式的差異（含負數）

vals ← [2.4, 2.5, 2.6, -2.5, -2.9]
對每個 x ∈ vals：
    輸出 x
    輸出「截尾（向 0）」的結果
    輸出「下捨」的結果
    輸出「上捨」的結果
    輸出「四捨五入」的結果

Python 程式（可修改後按「執行」觀察）

import math

vals = [2.4, 2.5, 2.6, -2.5, -2.9]
for x in vals:
    print("x =", x)
    print("  截尾 int(x)   =", int(x))
    print("  下捨 floor(x) =", math.floor(x))
    print("  上捨 ceil(x)  =", math.ceil(x))
    print("  四捨五入 round(x) =", round(x))

Check Point 3：捨入與捨入誤差（四選一．至少 20 題）

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4. 語法錯誤、運行時錯誤、邏輯錯誤

重點

語法錯誤：寫法不符合語法規則，程式通常無法開始執行（例如漏冒號、括號不成對）。
運行時錯誤：程式能開始執行，但執行到某一步才出錯（例如除以 0、索引超界）。
邏輯錯誤：程式能執行到底，但輸出不正確；需要靠測試資料與追蹤變量值定位。
處理錯誤時要懂得閱讀錯誤訊息：看錯誤類型、行號，並追溯出錯前的變量狀態與輸入。

語法錯誤與運行時錯誤通常較容易處理，因為系統會提供錯誤類型與行號；你只要跟着訊息修正寫法或輸入處理即可。相反，邏輯錯誤最難，因為程式可能完全不報錯，只是答案不正確。

面對邏輯錯誤，建議先用小量且可重現的測試資料（例如 0、1、臨界值、最大值／最小值），再以追蹤表或 print() 觀察關鍵變量值。當你找到「答案開始偏離」的第一步，就能把問題範圍縮小到少數幾行，修正效率會大幅提升。

示例：三種錯誤（按註解提示自行嘗試）

# 這部分以概念為主：
# 語法錯誤：寫法不合規則，程式不能開始
# 運行時錯誤：能開始，但某一步不合法（例如除以 0）
# 邏輯錯誤：能完成，但答案不正確

# 實務做法：
# 1) 先令程式能開始（修語法）
# 2) 再令程式能完成（修運行時錯誤）
# 3) 最後用測試＋追蹤變量值修邏輯錯誤

Python 程式（可修改後按「執行」觀察）

# 例子 1：語法錯誤（把下面兩行的 # 刪走試試）
# if 10 > 0
#     print("OK")

# 例子 2：運行時錯誤（把 b 改成 0 試試）
a = 10
b = 2
print("a / b =", a / b)

# 例子 3：邏輯錯誤（想計 1..n 總和，但少咗 n）
n = 5
total = 0
for i in range(1, n):  # ← 試改做 range(1, n+1)
    total += i
print("1..n 總和 =", total)

Check Point 4：錯誤類型判斷（四選一．至少 20 題）

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5. 除錯工具：追蹤變量值與斷點

重點

追蹤表可把每一步的變量值記錄下來，特別適合在小例子中找邏輯錯誤。
斷點可令程式在指定位置暫停，配合單步執行觀察變量如何改變。
除錯的核心流程：重現 → 縮小範圍 → 觀察 → 假設 → 驗證。
良好習慣：一次只改一個地方、修正後回歸測試、避免留下多餘的除錯輸出。

除錯工具的目的不是「代你找錯」，而是令你更快掌握程式的真實執行情況。當你遇到邏輯錯誤時，單靠直覺往往不足以定位問題；追蹤表、追蹤變量值與斷點能把流程拆解，讓你看到每一步的變化。

建議的實戰做法是：先用小量測試資料重現問題，再用追蹤表或 print() 找出哪一步開始偏離預期；若你使用 IDE，則可用斷點配合單步執行，把問題範圍縮小到少數幾行，再作修正。每次修正後都要用原本的測試資料重新驗證，並補充邊界測試，確保問題不會再出現。

追蹤表示例（參考）

以下追蹤表對應程式：total = total + i（i 由 1 到 3）。

步驟	i	total（更新後）
初始	—	0
迴圈 1	1	1
迴圈 2	2	3
迴圈 3	3	6

示例：用 print() 追蹤變量值定位邏輯錯誤

nums ← [8, 10, 15, 7]
count ← 0

對每個 x ∈ nums：
    如果 x ≥ 10：
        count ← count + 1
    輸出「目前 x、count」

輸出「≥10 的個數」, count

Python 程式（可修改後按「執行」觀察）

nums = [8, 10, 15, 7]
count = 0

for x in nums:
    if x >= 10:
        count += 1
    print("x =", x, "count =", count)

print(">= 10 的個數 =", count)

互動示範：斷點與單步執行如何追蹤變量值

本示範以一段簡單程式為例，模擬除錯器的「單步執行」與「斷點」行為。學習者可透過點擊行號設定斷點，並觀察每一步的變量值變化。

點擊左側行號旁的圓點欄位，以新增／取消斷點。
按「單步執行」逐行執行；按「繼續」可執行至下一個斷點（或到程式結束）。
觀察右側的「本地變量」及「輸出」，理解變量值如何隨步驟變化。

斷點：（無）

示例程式（點擊行號可設定斷點）

本地變量尚未開始執行

（尚未開始）

輸出

（尚未有輸出）

提示：本例的目標是計算 1 至 n 的總和，但迴圈使用 range(1, n)，因此當 n = 5 時只會計到 4。可在第 4 行設定斷點並反覆按「繼續」，觀察 i 的最大值，從而定位「迴圈範圍差一」的問題。

Check Point 5：除錯工具與策略（四選一．至少 20 題）

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