一、學習目標
重點
- 以表格／格子作直觀比喻，理解二維陣列的結構。
- 掌握列（row，橫向）與欄（col / column，縱向），並能用兩個索引定位元素。
- 能用
arr[row][col]存取或修改指定格子，並避免把 row/col 顛倒。 - 理解二維陣列的大小是列數 × 欄數，並能處理常見錯誤（索引越界、列長不一致）。
- 能使用雙重循環（nested loops）逐格掃描，完成計數、搜尋、條件檢查等任務。
二維陣列可理解為「清單中的清單」（list of lists）：外層清單代表多列，而每一列本身又是一條清單，列內有多個元素（多欄）。
因此，每一個元素都需要兩個索引定位：row（列）與col（欄）。
在 Python 的 list-of-lists 中：
arr[row]：先取出第row列（得到一條一維清單）。arr[row][col]：再在該列內取第col欄的元素（得到某一格）。
所以，arr[row][col] 的閱讀方法是：「先找第幾列，再找該列的第幾欄」。
- 座位表：每格存放學生姓名或點名狀態。
- 棋盤：每格存放棋子（空 / X / O）。
- 迷宮地圖：每格存放地形（0=可走、1=牆）。
這些情境共同特徵：你一定會用到「第幾列 + 第幾欄」去描述一格的位置。
一維陣列：像一條清單，只需「第幾個」定位。
二維陣列：像一張表格，需要「列 + 欄」定位。
若資料天然是表格（例如：學生 × 測驗次數），用二維會更清晰；若資料只是順序清單（例如：10 次跳遠距離），用一維更直接。
- 顛倒 row/col：把「列」當成「欄」用，會取錯格，甚至越界。
- 索引越界（out of range）：rows=3 時，合法 row 只有 0、1、2。
- 錯誤初始化：Python 寫
[[0]*c]*r會令多列共用同一條清單，修改一格會「連帶」改到其他列。
在日常生活中，我們經常接觸到「表格」：例如座位表、時間表、成績表、棋盤、像素圖像。二維陣列的用途，就是把這些「表格」用程式的方式表達出來，讓電腦可以逐格處理。
本頁會循序介紹二維陣列的概念、arr[row][col] 的讀法、大小（列數×欄數）、以及雙重循環逐格掃描。學到最後，你應該能把二維陣列套用到不同情境，並能自行寫出處理表格的程式。
二、概念引入：二維陣列是甚麼
重點
- 一維陣列像一條清單；二維陣列像一張表格。
- 二維陣列可以理解為由多個一維陣列組成（清單中的清單）。
- 每格要用兩個索引定位：row（列）與col（欄）。
在 Python 中，二維陣列通常用「list-of-lists」表示，例如：
外層清單有 2 列；每一列內有 3 欄。整體看起來就像 2×3 的表格。
把二維陣列想成「一列一列地排」：
arr[0]代表第 0 列（例如[10, 20, 30]）。arr[1]代表第 1 列（例如[40, 50, 60]）。
所以二維陣列最外層的索引（row）其實是「你要哪一列」。
若你要記錄 3 位同學、每人 2 次測驗分數：
- 用二維：
scores[row][col]清楚表示「第 row 位同學、第 col 次測驗」。 - 硬用一維：你要自己把（同學, 次數）轉換成單一索引，程式會更容易出錯。
規則矩陣：每一列的欄數相同（學習與處理都較容易）。
不規則清單：不同列的欄數不同（需要更小心處理）。
初學階段建議先使用規則矩陣，概念穩固後再接觸不規則情況。
arr[row][col] 其實是兩步：(arr[row])[col]。
補充：在 Python 的 list-of-lists 中，二維索引通常寫作 arr[row][col]。
有些偽代碼／教材會用 arr[row, col] 來表示二維索引（只是記法）。
但在 Python 一般 list（未用 NumPy）中，arr[row,col] 會被當成用一個 tuple 作索引，通常會報錯。
一維陣列可以想像成「一列清單」，例如分數清單、商品價格清單；只要用一個位置（第幾個）就能找到資料。
二維陣列則是「表格化」的清單：它由多列資料組成，而每列又有多欄。當資料天然呈現為表格（例如：座位表、棋盤、地圖、試算表）時，用二維陣列可以令資料結構更貼近問題本身。
三、為甚麼需要二維陣列
重點
- 當資料需要同時用兩個方向（列與欄）定位時，二維陣列最自然。
- 二維陣列令程式更容易寫出「逐格處理」：計數、搜尋、檢查。
- 若硬用一維存表格，往往要自行換算索引，較易出錯。
「表格式資料」的核心特徵是：每個資料點都必須用列 + 欄定位，例如座位表的「第 3 列第 2 欄」。
二維陣列天生支援這種定位：arr[row][col] 一眼就能看出你想取哪一格。
若把 2D 壓成 1D，你就要自己做換算：
一旦 cols 記錯、row/col 調轉，資料就會對不到。使用二維陣列可以把這些風險降到最低。
成績表天然是一個「學生 × 測驗」的表格。用二維陣列：
scores[row][col]：第 row 位同學、第 col 次測驗分數。- 要找某同學平均分：固定 row，走遍 col。
- 要找某次測驗最高分：固定 col，走遍 row。
一維也能存下所有分數，但程式會充滿索引換算：
- 你要記住 cols 代表甚麼。
- 你要不斷用公式把 (row, col) 轉成 index。
二維陣列雖然概念稍多，但換來的是可讀性、可維護性與較低的出錯率。
- 把二維當一維：只用單一索引走訪，導致漏格或錯格。
- 把列/欄顛倒：你以為固定某同學，其實固定了某次測驗。
- 以為二維一定是正方形：其實可為 2×5、3×7 等任何矩形。
很多問題本身就是「表格」：資料不是排成一條直線，而是有兩個方向可延伸。當你需要用「第幾列 + 第幾欄」去描述位置時，二維陣列能直接反映問題結構，程式也更容易閱讀。
此外，二維陣列非常適合配合雙重循環逐格處理。只要建立一個固定的掃描骨架，你便可以在表格上完成大量任務，例如統計、搜尋、判斷某一列是否全部符合條件等。
表格例子：成績表（3 位同學 × 3 次測驗）
| 測驗 0 | 測驗 1 | 測驗 2 | |
|---|---|---|---|
| 同學 0 | 72 | 68 | 80 |
| 同學 1 | 91 | 86 | 88 |
| 同學 2 | 60 | 73 | 70 |
若用二維陣列表示，這張表可寫成 scores[row][col]：row 代表「第幾列（哪位同學）」，col 代表「第幾欄（第幾次測驗）」。
Check Point 1：何時要用二維陣列？
重點
- 若資料天然是格子／表格，通常應考慮二維陣列。
- 若只是一條清單（只有一個方向），一維會更簡潔。
- 按情境判斷：座位表、棋盤、地圖 → 二維；分數清單、紀錄序列 → 一維。
選擇資料結構時，最重要是「貼近問題」。如果問題本身是表格（有列與欄），二維陣列最自然；反之若資料只是一條清單，一維更好。
問自己一條最直接的問題：我需要幾個索引才能定位一個資料？
- 只需 1 個（第幾個）→ 一維。
- 需要 2 個（第幾列 + 第幾欄）→ 二維。
座位表：每個座位要用 (row, col) 表示，適合二維。
分數清單：每人只有一個分數，只需用第幾個定位，適合一維。
二維陣列功能更強，但也帶來更多概念（列、欄、雙重循環）。如果問題不需要兩個方向的定位，用一維反而更清晰、更不易出錯。
有些資料雖然可以排成表格，但實際上只用到一個方向，例如「每月氣溫（12 個數）」：這其實是一條清單，不一定需要二維。
小測：何時要用二維陣列？
（載入中…）
四、結構理解：列（Row）與欄（Column）
重點
- 香港教材常用：Row（橫向）= 列；Column（縱向）= 欄。
- 二維陣列常用
arr[row][col]：先列（row），後欄（col）。 - 索引多數由 0 開始：第一列是 row=0，第一欄是 col=0。
列（Row）：橫向排列，由左至右的一排格子。
欄（Column）：縱向排列，由上至下的一列格子。
記法：「列橫、欄直」。
在 list-of-lists 中，外層清單是一列一列地排起來：
arr[row]先取出第 row 列（得到一條清單）。- 再用
[col]在該列中取第 col 欄（即其中一格）。
所以，arr[row][col] 的本質是：(arr[row])[col]。
如果某格位於第 2 列第 3 欄（以 0 起算），它的索引就是：
讀法：先找第 2 列，再在該列找第 3 欄。
在 Python、JavaScript 等語言中，索引多數由 0 開始：
- 第一列 → row = 0
- 第一欄 → col = 0
有些工具（例如試算表的列/欄標示）則是由 1 開始。寫程式時要留意你使用的索引系統。
- 語法寫了
arr[row][col]，但心裡把 row 當欄、col 當列，邏輯就會錯。 - 最容易出錯的情況：固定「某同學」計算總和時，你可能固定了 col 而不是 row。
要處理二維陣列，第一步必須把「列」與「欄」分清楚。當你看到 arr[row][col]，請把它理解成「先選一列，再選該列中的一欄」。
香港教材常見譯法是：Row（橫向）稱為「列」，Column（縱向）稱為「欄」。只要你在整個題目中保持一致，不論採用哪一種叫法，最重要都是弄清楚：哪一個索引代表哪一個方向。
表格例子：按格子顯示它的 row/col
請按任何一格，系統會顯示它屬於第幾列（row）及第幾欄（col）。
Check Point 2：arr[row][col] 的讀法與常見混淆
重點
arr[row][col]讀法：先列（row），後欄（col）。- 把 row/col 顛倒，最常見後果是取錯格或越界。
- Python 的 list-of-lists：通常用
arr[row][col]。 - 偽代碼／部分語言（或 NumPy 陣列）：有時會見到
arr[row, col]這種記法（逗號代表同時提供兩個索引）。
在規則矩陣中，每個格子都唯一對應一組 (row, col)。只要 row、col 正確，你就能精準存取同一格。
arr[row][col] 是「先取一列清單，再取該列中的一欄」的兩步操作（list-of-lists）。
arr[row, col] 則常見於偽代碼／部分語言用來表示「二維索引」的記法；
但在 Python 一般 list（未用 NumPy）中，arr[row, col] 會被視為用一個 tuple 作索引，通常會報錯。
假設矩陣大小是 rows=3、cols=5：
- 正確：
arr[row][col]，row 範圍是 0..2，col 範圍是 0..4。 - 顛倒：
arr[col][row]，若 col=4，就會嘗試取第 4 列（越界）。
即使語法寫對（arr[x][y]），如果你把變數含義講反（把 x 當欄、y 當列），程式仍會取錯格。
所以，寫程式時要同時顧及：語法與變數含義。
row是某一列的索引；rows是總列數。col是某一欄的索引；cols是總欄數。
小測：arr[row][col] 的讀法
（載入中…）
五、基本操作：存取（讀取）與更新（修改）
重點
- 存取某一格：
value = arr[row][col]。 - 更新某一格：
arr[row][col] = newValue。 - 本節的表格會跟隨 Python 程式更新，讓你看到「改哪一格」的效果。
讀取：知道某格在 (row, col)，就能取得該格的值。
修改：同樣指定 (row, col)，把該格更新成新值。
二維陣列不只是靜態資料，它也常用來記錄「狀態」，並隨操作而改變，例如：
- 座位表：把某座位標記為「缺席」。
- 棋盤：把某格由空格改成玩家棋子。
- 地圖：把某格由「空地」改成「已走過」。
這是很常見的模式：先取出舊值，再用舊值計算新值，最後寫回去。
修改單格：直接指定 row 與 col。
修改整列：固定 row，用循環走遍 col。
修改整欄：固定 col，用循環走遍 row。
以下寫法會令每一列其實指向同一條清單：
結果：你修改 mat[0][0]，其他列的第 0 欄也會一起改。正確做法是用 list comprehension 建立獨立的列。
二維陣列的「地址」是 (row, col)。一旦你能正確指出某格的位置，讀取與更新就只是兩行程式：讀取用 arr[row][col]，修改則把它放在等號左邊。
為了把概念連到具體效果，本節提供一個可互動表格：你可以直接執行（或修改）Python 程式，表格會同步顯示目前的二維陣列內容，讓你觀察「改哪一格」會怎樣影響整張表。
互動示範：Python 修改二維陣列 → 表格同步更新
步驟：① 修改下面的 Python 程式（例如改某一格的值）→ ② 按 Run 程式 → ③ 觀察表格變化。
# 1) 建立二維陣列（列×欄）
arr ← [[10,20,30],
[40,50,60]]
# 2) 讀取：輸出第 0 列第 2 欄
輸出 arr[0][2]
# 3) 更新：把第 1 列第 1 欄改成 999
arr[1][1] ← 999
# 4) 輸出整個 arr（方便檢查）
arr[1][1] 改成其他座標，例如 arr[0][0] 或 arr[1][2]，再觀察表格哪一格會改變。
六、大小與形狀：列數 × 欄數
重點
- 二維陣列大小可描述為：列數（rows）× 欄數（cols）。
- 合法索引範圍：
row = 0..rows-1，col = 0..cols-1。 - 列長不一致（不規則陣列）會增加處理難度；初學建議先用規則矩陣。
- rows（列數）：外層清單有多少列（有多少條子清單）。
- cols（欄數）：每一列有多少欄（每條子清單有多少元素）。
例如 3×4 表示 3 列、每列 4 欄。
索引由 0 開始，總數若是 rows，最後一個索引就是 rows-1；欄亦同理。
總格數 = rows × cols = 3 × 4 = 12 格。
但要注意：你寫程式時不是用 1..12 去定位，而是用 (row, col) 兩個索引定位每一格。
規則矩陣最適合初學：你可以假設每列欄數一樣，所以 cols = len(arr[0]) 成立。
若每列欄數不同，你就要在循環中用 len(arr[row]) 逐列處理，否則容易越界。
- 把
for row in range(cols)寫成外層，導致越界。 - 把上界寫成
range(rows+1)，最後會跑到 row=rows（越界）。
理解二維陣列的大小，最直接的方法是把它當成一張表格：有多少列，就代表你可以用多少個 row 索引；每列有多少欄，就代表你可以用多少個 col 索引。
寫程式時，最常見錯誤就是「索引越界」。所以請牢記：總列數是 rows，但最後一列索引是 rows-1；總欄數是 cols，但最後一欄索引是 cols-1。
互動練習：輸入列數與欄數，生成一張表格
提示：按格子可查看其座標（row/col）。
Check Point 3：索引範圍與越界（out of range）
重點
- Python 的 list 索引通常由 0 開始（0-based）。
- rows 代表總列數，但合法 row 索引是
0..rows-1。 - 越界最常見原因：把上界寫成 rows 或 cols。
IndexError: list index out of range 表示：你嘗試用一個不合法的索引去取 list 的元素。
若一共有 rows 列：
- 第一列索引：0
- 最後一列索引：rows-1
欄亦同理。
如果你用 row=3，就等於取第 4 列，必然越界。
若題目保證輸入一定合法，你可以不做檢查；但在真實系統中，輸入未必可靠，越界檢查能避免程式崩潰。
row 是索引（位置），rows 是總列數。把兩者混淆會令 range 上界寫錯。
小測：索引範圍（避免越界）
（載入中…）
七、核心能力：雙重循環（Nested Loops）逐格掃描
重點
- 二維陣列最重要用途之一：用程式逐格處理整張表格。
- 最典型掃描骨架：外層走 row（列），內層走 col（欄）。
- 本節提供「Step 模式」：你可以逐步看到程式走到哪一格。
二維表格有兩個方向：列與欄。要走遍每一格，最常用方法是：
外層循環每次決定「現在處理哪一列」。內層循環則在同一列內由左至右走遍所有欄。
這就像閱讀：先讀完第一行，再讀第二行……（先列後列）。
- 計數：統計某個數字出現次數。
- 搜尋：找出第一個符合條件的位置。
- 檢查：判斷某一列是否全部通過（例如全為 0）。
逐列掃描（row-major）：外層 row、內層 col（最常見）。
逐欄掃描（column-major）：外層 col、內層 row（適合按欄統計時）。
- 外層用
range(cols)，卻在內層用arr[row][col]，容易越界。 - 寫成
arr[col][row]，導致取錯格。
二維陣列的強大之處不只在於「可以存表格」，更在於「可以逐格處理表格」。只要你掌握雙重循環，就能用程式走遍整張表，完成大量重複工作。
很多題目其實都是同一套路：先用雙重循環逐格掃描，然後在循環內做條件判斷或累加。以下的 Step 模式示範，會把掃描過程可視化，幫助你真正理解程式是如何一格一格走過表格。
互動示範：逐格掃描（Step 模式）
步驟：① 按 Run 程式 產生掃描步驟 → ② 用「下一步」觀察掃描順序（目前所在格會以黃色標示）。
grid ← 3×4 的二維陣列（0/1）
steps ← 空清單
walls ← 0
for row = 0 到 rows-1
for col = 0 到 cols-1
把 (row, col) 加入 steps
若 grid[row][col] == 1
walls ← walls + 1
輸出 walls
Check Point 4：雙重循環的掃描順序
重點
- 最常見逐格掃描：外層 row（列），內層 col（欄）。
- 若要「按欄」統計，可改為外層 col、內層 row。
- 二維資料若不先轉換，通常需要雙重循環才能遍歷每一格。
外層循環控制你先固定哪個方向；內層則是在固定的情況下掃另一個方向。
若你想逐列處理（例如每列計算一個總和），外層用 row 最直觀；內層用 col 把該列所有元素走一次。
每列總和：外層 row、內層 col。
每欄總和：外層 col、內層 row。
兩種安排都可以遍歷全表，但思路不同：一種是「逐列」，另一種是「逐欄」。題目問你要計算甚麼，就選最貼近的寫法。
除非你把二維先轉成一維，否則只用單循環很難同時處理列與欄兩個方向。
小測：雙重循環掃描順序
（載入中…）
八、典型情境連結：二維陣列在現實中出現在哪裡？
重點
- 二維陣列最常見於格子化資料：座位表、棋盤、迷宮地圖、試算表、像素圖像。
- 同一個概念，可以在不同場景套用：每格都有 (row, col)。
- 理解情境有助你在題目中快速辨認「這其實是一張表格」。
不論你見到的是座位、棋盤、像素或地圖，只要每格都需要用兩個方向定位，就很自然會用到二維陣列。
你可以把二維陣列想成通用的「格子容器」：
grid[row][col]是最核心的存取方式。- 雙重循環是最核心的掃描方式。
不同情境，只是格子內容（數字／文字／狀態）不同。
- 座位表：統計缺席人數（掃描每格狀態）。
- 棋盤：判斷是否連成一線（掃描某幾條列／欄／斜線）。
- 迷宮：檢查某格是否牆／是否可走。
- 像素：把某種顏色改成另一種顏色（逐格替換）。
試算表的每一格也有地址，只是習慣用 A1、B2 這種表示法；而程式中則常用 arr[row][col]。
兩者概念一致：都是用「列 + 欄」定位一格。
學習時請把焦點放在「共通結構」：每格有座標、可逐格掃描。只要掌握結構，你就能快速把技能轉移到新題目。
要真正掌握二維陣列，你需要能把它「對應到現實中的表格」。以下提供五個常見情境的迷你模擬器：它們看似不同，但本質都是同一件事——用 (row, col) 表示一格，並在格子上存放狀態或數值。
你可以在不同情境之間切換，觀察每個模擬器背後的二維資料如何改變。特別留意：無論是座位、棋子、迷宮格、試算表格，或像素點，操作時其實都是在修改某一個 grid[row][col]。
座位表（每格存放姓名／狀態）
操作：先按格子選取座位，再在右邊輸入內容並按「更新此格」；這就相當於更新 seat[row][col]。
編輯選取座位
seat[row][col] = ...顯示二維陣列資料（seat）
棋盤（井字棋 3×3 示範）
操作：按空格落子（X / O 交替）；每次落子就是更新 board[row][col]。
迷宮地圖（0=可走，1=牆）
操作：用「十字按鈕」移動玩家（🙂）。如果下一格是牆（1），就不能走；這就像檢查 maze[row][col] 是否可走。
顯示二維陣列資料（maze）
試算表（格子地址 A1…）
操作：先按格子選取，再在右邊輸入新數值並按「更新此格」；系統會顯示試算表地址（例如 B2）及對應的 arr[row][col]。
編輯選取格子
arr[row][col] = 新值顯示二維陣列資料（sheet）
像素圖像（每格存放顏色代號）
操作：先選擇顏色代號（0–4），再按格子上色；這等同修改 pixels[row][col]。
顯示二維陣列資料（pixels）
九、20 條偽代碼挑戰：偽代碼 → Python
重點
- 每題都有偽代碼、Python 編輯器、以及「核對答案」。
- 建議先寫讀入與建立矩陣，再寫雙重循環骨架，最後處理 if 條件。
- 遇到錯誤可用
print輸出中間結果（row、col、累加值）協助除錯。
挑戰題的目的不是背答案，而是訓練你把「表格思維」翻譯成程式：建立矩陣 → 逐格掃描 → 判斷與累加 → 輸出。
只要換一換 if 條件，你就能解到很多題。
大部分題目用逐列（外層 row、內層 col）已足夠；但若題目問「每欄」統計，請考慮外層 col、內層 row。
- 輸出格式：題目要求每列輸出一行、空格分隔，卻輸出成一行。
- 索引錯：row/col 顛倒，或 range 用錯 rows/cols。
- 初始化陷阱：用
[[0]*m]*n導致共享列（其中一題會特別測）。
以下 20 題已按難度由淺入深排列。每題都提供偽代碼與 Python 編輯器；你可以直接在頁面內撰寫程式並執行。若想快速檢查是否做對，可以使用「核對答案」。
建議做題流程：先根據偽代碼把輸入讀入與矩陣建立完成，再寫雙重循環骨架，最後才處理 if 條件與輸出格式。若核對失敗，可以暫時在循環內加入 print 輸出中間結果（例如目前的 row/col、目前累加值），找出哪一步與偽代碼不一致。
① 是否把
rows / cols 寫反？② range 的上界是否正確？③ 是否把 row/col 顛倒？④ 是否按題目要求輸出（換行／空格）？